Soient \(F:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^2\) telle que \(F(t)=(x(t),y(t))\)
\(G:{\Bbb R}^2\to{\Bbb R}\) (\(G(x,y)\))
et \(h:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) avec \(h=G\circ F\) (\(h(t)=G(x(t),y(t)\))
Montrer que $${{h^\prime(t)}}={{\frac{\partial G}{\partial x}(x(t),y(t))x^\prime(t)+\frac{\partial G}{\partial y}(x(t),y(t))y^\prime(t)}}$$

Jacobienne d'une composée

On a $$\begin{align} &J_h(t)=J_G(F(t))\times J_F(t)\\ \implies&\left(\frac{\partial h}{\partial t}(t)\right)=\begin{pmatrix}\frac{\partial G}{\partial x}(x(t),y(t))&\frac{\partial G}{\partial y}(x(t),y(t))\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{dx(t)}{xt}\\ \frac{dy(t)}{dt}\end{pmatrix}\\ \implies&\left(\frac{\partial h}{\partial t}(t)\right)=\begin{pmatrix}\frac{\partial G}{\partial x}(x(t),y(t))&\frac{\partial G}{\partial y}(x(t),y(t))\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x^\prime(t)\\ y^\prime(t)\end{pmatrix}\end{align}$$

(Matrice jacobienne - Jacobienne (Jacobienne d'une composée))

Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) une fonction dérivable. Calculez $$\left( f(x^2)\right)^\prime$$

Poser une fonction intermédiaire
On pose \(g\) la fonction carrée \(x\mapsto x^2\). \(g\) est dérivable et \(\forall x\in{\Bbb R},g^\prime (x)=2x\)

Appliquer la loi de la chaîne

$$\begin{align}\left( f(x^2)\right)^\prime&=\left( f\circ g\right)^\prime(x)\\ &=(f^\prime\circ g)(x)\times g^\prime(x)\\ &=2xf^\prime(x^2)\end{align}$$

(Fonction carré)

Soit \(f,g:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) deux fonctions dérivables. Calculez la dérivée de l'expression suivante : $$\ln\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$$

$$\begin{align}\left(\ln\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)\right)^\prime&=\left(\ln\circ\frac fg\right)^\prime(x)\\ &=\left(\ln^\prime\circ\frac fg\right)(x)\times \left(\frac fg\right)^\prime\\ &=\frac{\cancel{g(x)}}{f(x)}\times\left(\frac{f^\prime g-fg^\prime}{g^\cancel2}\right)\\ &=\frac{f^\prime (x)g(x)-f(x)g^\prime (x)}{f(x)g(x)}\end{align}$$

(Logarithme népérien - Logarithme naturel)

Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) une fonction dérivable
Calculer les dérivées partielles de $$g(x,y)=f(x+y)$$

Règle de la chaîne

Soit \(\psi_y:x\mapsto x+y\)
Alors \(g(x,y)=f\circ\psi_y(x)\), donc on a : $$\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)&=f^\prime(\psi_y(x))\times\psi^\prime_y(x)\\ &=f^\prime(x+y)\end{align}$$
De même, \(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=f^\prime(x+y)\)

Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) une fonction dérivable
Calculer les dérivées partielles de $$g(x,y)=f(x^2+y^2)$$

Règle de la chaîne

Soit \(\psi_y:x\mapsto x^2+y^2\)
Alors \(g(x,y)=f\circ\psi_y(x)\), donc on a : $$\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)&=f^\prime(\psi_y(x))\times\psi^\prime_y(x)\\ &=2xf^\prime(x^2+y^2)\end{align}$$
De même, \(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2yf^\prime(x^2+y^2)\)

Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) une fonction dérivable
Calculer les dérivées partielles de $$g(x,y)=f(xy)$$

Règle de la chaîne

Soit \(\psi_y:x\mapsto xy\)
Alors \(g(x,y)=f\circ\psi_y(x)\), donc on a : $$\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)&=f^\prime(\psi_y(x))\times\psi^\prime_y(x)\\ &=yf^\prime(xy)\end{align}$$
De même, \(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=xf^\prime(xy)\)

(Dérivée partielle)

Soit \(f:{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une fonction de classe \(\mathscr C^1\) et soit \(g:{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) la fonction définie par $$g(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x)$$ montrer que $$\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=0$$

$$\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x-y,y-z,z-x)\times1+\frac{\partial f}{\partial x}(x-y,y-z,z-x)\times(-1)\end{align}$$
Idem avec les deux autres dérivées partielles de \(g\)
On en déduit l'équation

(Dérivée partielle)

Soit \(f:{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},(x,y)\mapsto f(x,y)\) et \(\Phi:]0,+\infty[\times[0,2\pi[\to{\Bbb R}^2,(r,\theta)\mapsto(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\)
On note \(g=f\circ\Phi\)
Calculer les dérivées partielles (par rapport à \(r\) et \(\theta\)) en fonction des dérivées partielles de \(f\) (par rapport à \(x\) et \(y\))

Les jacobiennes de \(\Phi\) et \(f\) sont : $$J_\Phi(r,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad J_f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}$$

La jacobienne de \(J_g(r,\theta)\) est donc donnée par : $$\begin{align} J_g(r,\theta)&=J_f(\Phi(r,\theta))J_\Phi(r,\theta)\\ &=\begin{pmatrix}\cos\theta\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)+\sin\theta\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)&-r\sin\theta\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)+r\cos\theta\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)\end{pmatrix}\end{align}$$

(Matrice jacobienne - Jacobienne (Jacobienne d'une composée))